SciPy 集成

当一个函数不能解析积分，或者很难解析积分时，一般会求助于数值积分方法。 SciPy 有许多用于执行数值积分的例程。他们中的大多数都在同一个 scipy.integrate 图书馆。下表列出了一些常用的函数。

单积分

Quad 函数是 SciPy 集成函数的主力。数值积分有时被称为 正交 ， 由此得名。它通常是执行函数单积分的默认选择 f(x) 在从 a 到 b 的给定固定范围内。

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

四边形的一般形式是 scipy.integrate.quad(f, a, b) , 其中‘f’是要集成的函数的名称。而“a”和“b”分别是下限和上限。让我们看一个在 0 和 1 范围内积分的高斯函数示例。

我们首先需要定义函数 → $f(x) = e^{-x^2}$ ，这可以使用 lambda 表达式来完成，然后在该函数上调用 quad 方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

quad 函数返回两个值，其中第一个数字是积分值，第二个值是积分值绝对误差的估计值。

注意 ：由于quad需要函数作为第一个参数，所以不能直接传入exp作为参数。 Quad 函数接受正无穷和负无穷作为限制。 Quad 函数可以集成单个变量的标准预定义 NumPy 函数，例如 exp、sin 和 cos。

多重积分

双重和三重整合的机制已包含在函数中 dblquad, tplquad and nquad .这些函数分别集成了四个或六个参数。所有内积分的极限都需要定义为函数。

双积分

的一般形式 dblquad 是 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中，func是要积分的函数名，'a'和'b'分别是x变量的下限和上限，而gfun和hfun是定义下限和上限的函数名y 变量。

作为一个例子，让我们执行双重积分方法。

$$\int_{0}^{1/2} dy \int_{0}^{\sqrt{1-4y^2}} 16xy \:dx$$

我们使用 lambda 表达式定义函数 f、g 和 h。请注意，即使 g 和 h 是常数(在许多情况下可能是常数)，它们也必须定义为函数，正如我们在此处为下限所做的那样。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除了上述例程之外，scipy.integrate 还有许多其他集成例程，包括执行 n 倍多重积分的 nquad，以及实现各种积分算法的其他例程。但是，quad 和 dblquad 将满足我们对数值积分的大部分需求。