SciPy CSGraph

CSGraph 代表 压缩稀疏图 ，它专注于基于稀疏矩阵表示的快速图算法。

图形表示

首先，让我们了解什么是稀疏图以及它如何帮助图表示。

什么是稀疏图？

图只是节点的集合，它们之间有链接。图表几乎可以表示任何东西：社交网络连接，其中每个节点都是一个人并与熟人相连；图像，其中每个节点是一个像素并连接到相邻像素；高维分布中的点，其中每个节点都连接到其最近的邻居；几乎所有你能想象到的东西。

表示图数据的一种非常有效的方法是在稀疏矩阵中：我们称其为 G。矩阵 G 的大小为 N x N，G[i, j] 给出了节点“i”和节点之间的连接值'j'。稀疏图主要包含零：即大多数节点只有很少的连接。在大多数感兴趣的情况下，这个属性被证明是正确的。

创建稀疏图子模块的动机是 scikit-learn 中使用的几种算法，其中包括：

• Isomap ： 流形学习算法，需要在图中找到最短路径。

• 层次聚类 ：一种基于最小生成树的聚类算法。

• 光谱分解 ：一种基于稀疏图拉普拉斯算子的投影算法。

作为一个具体的例子，假设我们想表示如下的无向图：

该图有三个节点，其中节点 0 和 1 由权重为 2 的边连接，节点 0 和 2 由权重为 1 的边连接。我们可以构造密集、掩蔽和稀疏表示，如下例所示，请记住，无向图由对称矩阵表示。

G_dense = np.array([ [0, 2, 1],
                            [2, 0, 0],
                            [1, 0, 0] ])
                     
G_masked = np.ma.masked_values(G_dense, 0)
from scipy.sparse import csr_matrix

G_sparse = csr_matrix(G_dense)
print G_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([2, 1, 2, 1])

这与上一个图相同，除了节点 0 和 2 由零权重的边连接。在这种情况下，上面的密集表示会导致歧义：如果零是有意义的值，如何表示非边。在这种情况下，必须使用屏蔽或稀疏表示来消除歧义。

让我们考虑下面的例子。

from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense
G2_data = np.array
([
    [np.inf, 2, 0 ],
    [2, np.inf, np.inf],
    [0, np.inf, np.inf]
])
G2_sparse = csgraph_from_dense(G2_data, null_value=np.inf)
print G2_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., 0., 2., 0.])

使用稀疏图的字梯

字梯是刘易斯卡罗尔发明的一种游戏，其中单词通过在每一步更改一个字母来连接。例如：

APE → APT → AIT → BIT → BIG → BAG → MAG → MAN

在这里，我们分七个步骤从“APE”到“MAN”，每次改变一个字母。问题是 - 我们可以使用相同的规则在这些词之间找到更短的路径吗？这个问题很自然地表示为稀疏图问题。节点将对应于单个单词，我们将在最多相差一个字母的单词之间创建连接。

获取单词列表

首先，当然，我们必须获得一个有效词的列表。我正在运行 Mac，Mac 在以下代码块中给出的位置有一个字典。如果你在不同的架构上，你可能需要搜索一下才能找到你的系统字典。

wordlist = open('/usr/share/dict/words').read().split()
print len(wordlist)

上述程序将生成以下输出。

235886

我们现在要查看长度为 3 的单词，所以让我们只选择那些长度正确的单词。我们还将删除以大写字母(专有名词)开头或包含非字母数字字符(如撇号和连字符)的单词。最后，我们将确保所有内容都是小写的，以便稍后进行比较。

word_list = [word for word in word_list if len(word) == 3]
word_list = [word for word in word_list if word[0].islower()]
word_list = [word for word in word_list if word.isalpha()]
word_list = map(str.lower, word_list)
print len(word_list)

上述程序将生成以下输出。

1135

现在，我们有一个包含 1135 个有效三字母单词的列表(确切的数字可能会根据使用的特定列表而变化)。这些单词中的每一个都将成为我们图中的一个节点，并且我们将创建连接与每对单词关联的节点的边，它们仅相差一个字母。

import numpy as np
word_list = np.asarray(word_list)

word_list.dtype
word_list.sort()

word_bytes = np.ndarray((word_list.size, word_list.itemsize),
    dtype = 'int8',
    buffer = word_list.data)
print word_bytes.shape

上述程序将生成以下输出。

(1135, 3)

我们将使用每个点之间的汉明距离来确定哪些词对是连接的。汉明距离衡量两个向量之间的条目比例，这两个向量不同：汉明距离等于 1/N1/N 的任何两个单词，其中 NN 是在单词阶梯中连接的字母数。

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from scipy.sparse import csr_matrix
hamming_dist = pdist(word_bytes, metric = 'hamming')
graph = csr_matrix(squareform(hamming_dist < 1.5 / word_list.itemsize))

在比较距离时，我们不使用等式，因为这对于浮点值可能是不稳定的。只要单词列表中没有两个条目相同，不等式就会产生所需的结果。现在，我们的图已经设置好了，我们将使用最短路径搜索来查找图中任意两个单词之间的路径。

i1 = word_list.searchsorted('ape')
i2 = word_list.searchsorted('man')
print word_list[i1],word_list[i2]

上述程序将生成以下输出。

ape, man

我们需要检查这些匹配，因为如果单词不在列表中，输出中就会出错。现在，我们只需要在图中找到这两个索引之间的最短路径。我们将使用 迪杰斯特拉 算法，因为它允许我们只找到一个节点的路径。

from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
distances, predecessors = dijkstra(graph, indices = i1, return_predecessors = True)
print distances[i2]

上述程序将生成以下输出。

5.0

因此，我们看到“猿”和“人”之间的最短路径仅包含五个步骤。我们可以使用算法返回的前辈来重构这条路径。

path = []
i = i2

while i != i1:
    path.append(word_list[i])
    i = predecessors[i]
   
path.append(word_list[i1])
print path[::-1]i2]

上述程序将生成以下输出。

['ape', 'ope', 'opt', 'oat', 'mat', 'man']