Python深度学习 计算图

反向传播通过使用计算图在 Tensorflow、Torch、Theano 等深度学习框架中实现。更重要的是，理解计算图上的反向传播结合了几种不同的算法及其变体，例如随时间的反向传播和具有共享权重的反向传播。一旦一切都转换成计算图，它们仍然是相同的算法：只是在计算图上反向传播。

什么是计算图

计算图被定义为节点对应于数学运算的有向图。计算图是一种表达和评估数学表达式的方法。

例如，这里有一个简单的数学方程：

$$p = x+y$$

我们可以如下绘制上述方程的计算图。

上面的计算图有一个加法节点(带有“+”号的节点)，有两个输入变量 x 和 y 以及一个输出 q。

让我们再举一个稍微复杂一点的例子。我们有以下等式。

$$g = \left (x+y \right) \ast z $$

上述等式由以下计算图表示。

计算图和反向传播

计算图和反向传播，都是用于训练神经网络的深度学习的重要核心概念。

向前传球

前向传递是评估由计算图表示的数学表达式的值的过程。进行前向传递意味着我们将变量的值从左侧(输入)正向传递到输出所在的右侧。

让我们通过为所有输入赋予一些值来考虑一个示例。假设，为所有输入赋予以下值。

$$x=1, y=3, z=−3$$

通过将这些值提供给输入，我们可以执行前向传递并为每个节点上的输出获取以下值。

首先，我们使用 x = 1 和 y = 3 的值来得到 p = 4。

然后我们使用 p = 4 和 z = -3 得到 g = -12。我们从左到右，向前走。

Objectives of Backward Pass

在后向传播中，我们的目的是计算每个输入相对于最终输出的梯度。这些梯度对于使用梯度下降训练神经网络至关重要。

例如，我们需要以下梯度。

所需的渐变

$$\frac{\partial x}{\partial f}，\frac{\partial y}{\partial f}，\frac{\partial z}{\partial f}$$

反向传播(反向传播)

我们通过找到最终输出相对于最终输出(本身！)的导数来开始反向传播。因此，它将导致身份推导并且值等于一。

$$\frac{\partial g}{\partial g} = 1$$

我们的计算图现在如下图所示：

接下来，我们将通过“*”操作进行反向传递。我们将计算 p 和 z 处的梯度。由于 g = p*z，我们知道：

$$\frac{\partial g}{\partial z} = p$$

$$\frac{\partial g}{\partial p} = z$$

我们已经从前向传播中知道了 z 和 p 的值。因此，我们得到：

$$\frac{\partial g}{\partial z} = p = 4$$

and

$$\frac{\partial g}{\partial p} = z = -3$$

我们要计算 x 和 y 处的梯度：

$$\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}$$

但是，我们希望有效地做到这一点(尽管 x 和 g 在此图中只有两跳，但想象它们彼此相距很远)。为了有效地计算这些值，我们将使用微分的链式法则。根据链式法则，我们有：

$$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial p}\ast \frac{\partial p}{\partial x}$$

$$\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial p}\ast \frac{\partial p}{\partial y}$$

但是我们已经知道 dg/dp = -3，dp/dx 和 dp/dy 很容易，因为 p 直接取决于 x 和 y。我们有：

$$p=x+y\Rightarrow \frac{\partial x}{\partial p} = 1, \frac{\partial y}{\partial p} = 1$$

因此，我们得到：

$$\frac{\partial g} {\partial f} = \frac{\partial g} {\partial p}\ast \frac{\partial p} {\partial x} = \left ( -3 \right ) .1 = -3$$

另外，对于输入 y：

$$\frac{\partial g} {\partial y} = \frac{\partial g} {\partial p}\ast \frac{\partial p} {\partial y} = \left ( -3 \right ) .1 = -3$$

这样做的主要原因是当我们必须计算 x 处的梯度时，我们只使用已经计算的值和 dq/dx(节点输出相对于同一节点输入的导数)。我们使用本地信息来计算全局值。

训练神经网络的步骤

按照以下步骤训练神经网络：

• 对于数据集中的数据点 x，我们以 x 作为输入进行前向传递，并计算成本 c 作为输出。

• 我们从 c 开始反向传递，并计算图中所有节点的梯度。这包括代表神经网络权重的节点。

• 然后我们通过 W = W - 学习率 * 梯度来更新权重。

• 我们重复这个过程，直到满足停止条件。